东京都内部身高差异的研究
摘要
我们对东京都小学生的近全样本身高数据进行分析，发现不同区域的小学生平均身高与该区域的住宅地价存在非常显著的正相关关系，住宅地价每增长10倍，小学生平均身高增长1厘米。我们对东京都各地区成年身高做出估计，并发现东京都郊区25市与日本全国平均身高相近。
引言
最近一年，「人类身高」吧的讨论依然是世界各地区身高的历史、现状与「极限」，但是我们讨论的重点不再仅限于此，也开始讨论、研究同一时期内，各地区不同人群之间的身高差异。基本的共识是，就算在身高已经多年停滞的发达国家内部，不同经济社会阶层人群的身高差异也没有完全消失——高阶层的平均身高更高，低阶层的更低，这一差别被我们笼统地称作「精英效应」。然而对于精英效应具体的大小，一部分讨论是基于个人的主观印象，另一部分基于不同调查、不同口径的零星数据，少部分在同一身高调查中区分经济社会因素的，又很难控制年龄、种族、民族等与身高相关的因素。这一次，埋名匿姓、渤海187厘米和Radon_Xenon三人获取到了日本东京都近乎于全样本的学生体检数据，希望能以此对「精英效应」这一新的热点话题的研究做出贡献。
数据来源
我们使用的数据来自于「2018年度东京都儿童和学生体质、运动能力与生活、运动习惯等调查」（平成30年度東京都児童・生徒体力・運動能力、生活・運動習慣等調査），这一系列调查又称「东京都统一体质测试」（東京都統一体力テスト）。调查对象为东京都内所有公立学校的所有学生，调查内容包含身高、体重项目的体格测量。测量时间为2018年6月。
样本量
2018年度，实际进行调查的公立小学1280所（占所有此类学校100%，下同），公立初中618所（100%），六年制中学6所（100%），都立全日制高中173所（100%），定时制、通信制高中55所（100%），特别支援学校44所（71.0%）；实际调查学生总数为939265人，其中小学生580121人，初中生214875人，六年制中学学生5480人，全日制高中学生122992人，定时制、通信制高中学生9938人，特别支援学校学生5859人。其中，有着分区身高测量数据的小学生为570612人。
数据的代表性
我们查询了《2018年度东京都公立学校统计调查报告书》（平成30年度 公立学校統計調査報告書）和《2018年度东京都教育人口等推测报告书》（平成30年度 教育人口等推計報告書），其中给出的公立小学学生数量分别为580786人和584706人，东京都统一体质测试的小学生样本量占比分别为98.2%和97.6%。而日本私立小学联合会（日本私立小学校連合会）的网站给出，东京地区共有56所加盟私立小学。如果我们假设私立小学的平均学生数量与公立小学一样，那么东京都统一体质测试的小学生样本量占全体比例应为94.1%或者93.5%。
2018年东京都统一体质测试对于探究东京都小学生的身高，有非常好的代表性。
东京各地区小学生的身高
数据处理与误差估计
让$d$代表东京各区（市），$g$代表年级，$s$代表性别，我们记$h_{d,g,s}$为2018年东京都统一体质测试中$d$地区$g$年级$s$性别的小学生的平均身高，记$N_{d,g,s}$为对应的样本量。由于东京都统一体质测试未给出身高的标准差，我们使用2018年日本学校保健统计调查中日本全国各年龄组的标准差代替，记$\sigma_{y,s}$为该调查中$y$岁$s$性别组的身高标准差。我们使用下列关系换算年级和年龄： \[y = g + 5,\] 也即一年级对应6岁，二年级对应7岁，……，六年级对应11岁。
各区的小学生平均身高$h_d$由下式给出： \[h_d = \frac{1}{12} \sum_{g = 1}^{6} \sum_{s=\text{男},\text{女}} h_{d,g,s}.\] 即我们使用简单平均计算各区的小学生的平均身高，而并不因各年级样本量不同进行加权计算。这是为了防止由于各年级人数分布不均，导致各区的加权平均身高失去可比性。总样本量为 \[N_d = \sum_{g = 1}^{6} \sum_{s=\text{男},\text{女}} N_{d,g,s}.\] 我们使用下式估计各区小学生平均身高的标准误差$e_d$： \[e_d = \frac{1}{12} \sqrt{\sum_{g = 1}^{6} \sum_{s=\text{男},\text{女}} \frac{\sigma^2_{g+5,s}}{N_{d,g,s}}}.\] 即我们假设身高分布为正态分布，并认为不同年龄、性别组的身高误差互相独立。
需要合并统计多个区的身高时，设需要合并的区的集合为$D$，我们按如下公式分别计算总样本量$N_D$、平均值$h_D$和标准误差$e_D$： \[N_D = \sum_{d \in D} N_d,\] \[h_D = \frac{1}{N_D} \sum_{d \in D} N_d h_d,\] \[e_D = \sqrt{\sum_{d \in D} \frac{N_d^2}{N_D^2} e_d^2}.\]
计算结果
2018年东京都统一体质测试仅给出23区和25市的身高数据，没有给出町村区域的调查结果。在23区中，我们选出地理上最中心，也是日本政治和经济最中心的千代田区、中央区和港区作为「核心3区」单独考察。
| 地区 | 样本量 | 平均身高/cm | 标准误差/cm |
|---|---|---|---|
| 东京都 | 570612 | 131.14 | 0.01 |
| 23区 | 374198 | 131.30 | 0.01 |
| 都心3区 | 18503 | 131.88 | 0.04 |
| 25市 | 196414 | 130.84 | 0.01 |
为了方便读者参考比较，我们给出北京和东京的相应区域大小：
- 北京：西城区面积50.70平方千米，城六区（西城、东城、海淀、朝阳、丰台、石景山）面积1381平方千米，总面积16411平方千米；
- 东京：千代田区、中央区、港区3区面积42.24平方千米，23区面积627.57平方千米，总面积2194平方千米。
各区小学生身高与住宅地价的关系
为了定量地研究身高「精英效应」与社会经济状况的关系，我们使用东京都财务局发布的2018年东京都地价公示价格中各区住宅用地的平均价格，与各区小学生身高进行回归分析。
设$h_d$为2018年各区的小学生平均身高（计算方法见数据处理与误差估计小节），$p_d$为各区的住宅用地平均价格，我们建立下面的回归方程： \[y_d = k \log_{10} p_d + b + \varepsilon_d.\] 考虑到各区身高的标准误差$e_d$不同，我们最小化下面的对数似然量： \[\sum_{d} \frac{\left(y_d - k \log_{10} p_d - b\right)^2}{e_d^2}.\] 最终得到的结果是 \[k = 1.0078 \pm 0.089, b = 125.5248 \pm 0.496, r^2 = 0.735.\] 身高与地价的相关关系极其显著。
定量结果
我们得到的定量结果是，东京都内两个区域，如果住宅地价相差10倍（那么$\log_{10}$增长1），那么小学生的平均身高相差为1.0 ± 0.1厘米，将小学生的身高等比例换算到日本人的成年身高（男平均171厘米、女平均158厘米，见2018年日本学校保健统计调查），对应的差值分别为1.3 ± 0.1厘米和1.2 ± 0.1厘米。
住宅地价是否是对居民社会经济状况的好的度量？
我们认为是的。小学生上学地点通常在其家庭住址附近，其家庭住址所在的地价能够反映其家庭的财富水平。
估算东京各区小学生的成年身高
我们使用2016—2019年日本学校保健统计调查（未取用2020年数据，是因为2020年数据与之前年份差别较大，可能是冠状病毒病2019大流行所致）中东京部分数据，与2018年东京都统一体质测试数据进行比较，发现二者在6—11岁年龄段/一至六年级段身高基本能够对应，其中男生单一组差别最多为0.4厘米，女生最多为0.1厘米，如下表所列。由于日本从初中阶段起，私立学校比例不可忽略，统一体质调查有代表性不足的可能，因此没有列出其小学以上年级的身高。
| 年龄/年级 | 男身高（cm） | 女身高（cm） | ||
|---|---|---|---|---|
| 学校保健 | 统一体质 | 学校保健 | 统一体质 | |
| 6岁/一年级 | 116.8 | 116.9 | 116.1 | 116.0 |
| 7岁/二年级 | 123.2 | 122.9 | 121.9 | 121.9 |
| 8岁/三年级 | 128.6 | 128.5 | 127.5 | 127.6 |
| 9岁/四年级 | 133.9 | 133.9 | 133.7 | 133.6 |
| 10岁/五年级 | 139.8 | 139.4 | 140.4 | 140.3 |
| 11岁/六年级 | 145.6 | 145.5 | 147.1 | 147.0 |
| … | … | … | … | … |
| 17岁/高三 | 171.3 | 代表性较低 | 158.4 | 代表性较低 |
根据上述两个调查的比较，我们可以认为学校保健统计调查的东京部分在17岁，如同在6—11岁一样，能代表东京近全样本的真实身高水平。将小学生阶段，东京各区域的小学生身高，等比例换算成17岁身高，我们得到了如下各区域17岁身高的估计。
| 地区 | 男平均身高（cm） | 女平均身高（cm） |
|---|---|---|
| 东京都 | 171.3 | 158.4 |
| 23区 | 171.5 | 158.6 |
| 都心3区 | 172.3 | 159.3 |
| 25市 | 170.9 | 158.0 |
考虑到男生17岁后平均身高的增长，其成年平均身高可能会在17岁基础上增长0.2—0.3厘米，但是女生身高应不会再有增长。
东京各区域与周围三县和日本全国身高的比较
我们将2016—2019年同期东京都周围三县（神奈川县、埼玉县和千叶县）以及日本全国平均的学校保健统计调查身高数据加入比较，并按身高从高到低排序，得到下面的表格。
| 地区 | 男平均身高（cm） | 女平均身高（cm） |
|---|---|---|
| 都心3区（估计） | 172.3 | 159.3 |
| 23区（估计） | 171.5 | 158.6 |
| 东京都 | 171.3 | 158.4 |
| 神奈川县 | 171.1 | 158.2 |
| 千叶县 | 170.8 | 158.2 |
| 25市（估计） | 170.9 | 158.0 |
| 埼玉县 | 170.6 | 158.1 |
| 日本全国 | 170.6 | 157.8 |
我们有下面几点观察：
-
东京都以及其周围三县身高均高于日本全国，这可能是因为其所处的日本关东地区有着高于日本全国的身高遗传水平，而并不全是东京作为日本首都，社会经济条件较优带来的身高「精英效应」。
-
东京都郊区25市的身高水平不如神奈川县和千叶县，高于埼玉县，这可能说明城市远郊区的「精英效应」较弱，与大城市同处同一行政区划并没有使得该地区身高明显高于毗邻地区。
结论
我们发现在东京都内部，身高的「精英效应」显著存在，核心区身高高于市区23区、市区23区身高高于郊区25市，并且可以量化为「住宅地价每增长10倍，成年人身高增长1.2—1.3厘米」。然而，东京都郊区25市的身高与毗邻东京的三县差别较小，可能说明大城市远郊区的身高「精英效应」并不明显。我们估计东京千代田区、中央区、港区的小学生成年后平均身高约为172.6/159.3厘米，这一区域的面积与北京市西城区相当。
