估计分省和全国标准差
我向来关心更关心平均身高，而不是身高的标准差。不过我同意，标准差更大的地方，大街上的「目测身高」会更高一些。这是人的心理效应，是认知和实际的偏差。但是研究身高的我们，缘起又何尝不是微妙的社会心理呢？我决定承认这种心理的存在，好好研究一下标准差。
模型
我建立一个简单的双层随机性的身高模型。假设在某个国家，这里的人的身高由两个因素确定，一个是他出生的省份，另一个是他在这个省份中的相对位置。用数学公式表达便是，
\[H = H_{\text{省份}} + D.\]
其中，$H$是这个人的身高，$H_\text{省份}$是他所在省份的平均身高，而$D$是他在省份内的变异。
现在我们假设$H_\text{省份}$和$D$是相互独立的随机变量，而且$H_\text{省份}$遵循某个区间$[a,b]$内的均匀分布，而$D$遵循正态分布：$D \sim \mathcal N(0, \sigma^2)$。
这相当于是说，我们假设每个省份内部身高遵循一个相同标准差的正态分布，而所有省份的平均身高均匀分布在$[a,b]$里面，并且，每个省份人数相同。
那么，这个国家整体的方差是
$$
\begin{align}
\Var H &= \Var H_\text{省份} + \Var D \\
&= \frac{(b-a)^2}{12} + \sigma^2.
\end{align}
$$
也就是说，国家的标准差、省份的标准差和极差，知道其中两个就能得到第三个。当然，前提是这个模型能够使用。
算算中国的标准差
那中国汉族17岁男生举例。2014年，全国各省合并的标准差为6.29 cm。根据之前的身高地图，全国极差为8.35厘米（北京与贵州的差异）。那么代入数据，得到标准差为
\begin{align}
\sigma &= \sqrt{\Var H - \frac{(b-a)^2}{12}} \\
&= \sqrt{6.29^2 - \frac{8.35^2}{12}} \\
&\approx 5.82.
\end{align}
也就是说，中国省份内部的标准差大约为5.82 cm。这或许与璀璨星空的观察相符。
模型的不足
- 忽略了各个省份之间标准差的差异；
- 认为各个省份人数一样，实际上可能并不如此；
- 各个省份的身高也不见得均匀分布，使用极差只是一个粗略的估计。
因此，套用上述公式时，需要明白这不是一个非常精确的结果。
