估计标准差的误差
为了简单起见，假设身高服从某个未知的正态分布$\mathcal N\left(m, \sigma^2\right)$。我们从中抽出$N$个样本$x_1, \ldots, x_N$，可以计算得到（无偏）的标准差是 \[ \hat \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N \left(x_i - \overline x\right)^2}{N-1}} \] 其中\(\overline x = \left(x_1 + \cdots + x_N\right)/N\)是样本的均值。
也就是说\(\left(N-1\right){\hat \sigma}^2\)遵循\(N-1\)自由度的卡方分布的\(\sigma^2\)倍，也就是\(\sigma^2\chi^2\left(N-1\right)\)。我们知道\(\chi^2\left(N-1\right)\)可以认为是\(N-1\)个独立正态的平方和，所以可以写出 \[\left(N-1\right) \frac{ {\hat \sigma}^2 }{\sigma^2} \sim \mathcal{N}_1^2 + \cdots + \mathcal{N}_{N-1}^2 \] 在\(N\)比较大的时候，可以使用中心极限定理进行近似 \[ \sqrt{ \frac{N-1}{2} } \left( \frac{ {\hat \sigma}^2 }{\sigma^2} - 1\right) \sim_{近似} \mathcal N \left(0,1\right) \]
按照正态分布，以95.4%的概率，下式成立 \[ -2 \leq \sqrt{ \frac{N-1}{2} } \left( \frac{ {\hat \sigma}^2 }{\sigma^2} - 1\right) \leq 2 \] 也就是说以95.4%的概率 \[ \sigma \in \left[ \frac{ {\hat \sigma} }{ \sqrt{1 + \sqrt{ \frac{2}{ N-1 } } } } , \frac{ {\hat \sigma} }{ \sqrt{1 - \sqrt{ \frac{2}{ N-1 } } } } \right] \] 在\(N\)足够大的时候，这个公式可以简化为 \[ \sigma \in \left[ \left( 1 - \sqrt{ \frac{1}{2 \left(N-1\right)} }\right) \hat \sigma, \left( 1 + \sqrt{ \frac{1}{2 \left(N-1\right)} }\right) \hat \sigma \right] \]
一个例子
已知2014年学生体质与健康调研中，北京城男17、18岁的标准差为5.83、6.06，样本量均为150，那么代入上述公式，可以知道，这两个年龄段的标准差95%置信区间是\( \left[ 5.49, 6.16 \right] \)、\( \left[ 5.71, 6.41 \right] \)。横跨的标准差基本上在0.6厘米了。用如此不准的标准差，去推算高个子比例，得到的结论自然是不靠谱的。
