估计身高测量中的随机误差
假设我们测量某个年龄段（$x \sim x + 1$岁）某性别的身高，建立下面的统计模型。
模型
假设年龄$a$遵循$[x, x + 1]$中的某个未知分布， 给定年龄情况下，身高遵循正态分布。假设$f, s$是标准生长曲线的中位值和标准差，那么这个样本的身高是
\[h = f(a) + s(a) \mathcal N\]其中$\mathcal N$是独立分布的标准正态变量。
身高$h$的条件期望是$\E[h|a] = f(a)$，条件方差是$\Var[h|a] = s(a)$。
而$h$的总体均值和方差满足
\begin{align}
\E a &= x + \frac 12 \\
\Var a &\leq \frac 14 \\
\E h &= \E f(a) \\
\Var h
&= \E\left[h^2 \right] - \left(\E h\right)^2 \\
&= \E\left[\E\left[h^2\vert a\right]\right] - \left(\E f(a)\right)^2 \\
&= \E\left(f(a)^2 + s(a)^2\right) - \left(\E f(a)\right)^2 \\
&= \Var f(a) + \E\left[s(a)^2 \right] \\
\Cov(a, h)
&= \E[ha] - \E[h]\E[a] \\
&= \E[f(a)a] - \E[f(a)]\E a
\end{align}
代入数据
现在代入实际数据计算。使用中国2005生长表中男性生长最快的12～13岁。
| 年龄/岁 | 身高中位数/cm |
| 12.0 | 151.9 |
| 12.5 | 155.6 |
| 13.0 | 159.5 |
发现此段内如用线性函数替代，误差不超过0.1厘米，这是我们能够接受的。假设$f(a) = ka + b$，均值和方差简化为
\[\E a = 12.5\] \[\E h = f(\E a) = f(12.5)\] \[\Var h = k^2 \Var a + \E\left[s(a)^2\right]\] \[\Cov(a, h) = k \Var a\]误差来源分析
$\Var h$的第一项可认为是年龄「波动」造成的误差，满足 \[k^2 \Var a \leq \frac{k^2}{4} = 14.44\]
如果认为$a$满足$[x,x+1]$上的均匀分布，那么$\Var a = \frac 1{12}$，$k^2 \Var a = 4.81$。
第二项$\E\left[s(a)^2\right]$代表了人群「内生」的身高变异，查询生长表，可以得到估算 \[50 \leq \E\left[s(a)^2\right] \leq 65\] 也就是说$\E\left[s(a)^2\right] \gg k^2 \Var a$。
结论
身高测量的随机误差$\Var h$主要是由内生的身高变异，而不是测量年龄的偏差带来的。
我们还计算了（协）方差$\Var a$，$\Cov(a, h)$，在估计身高的偏差时候暂时用不到，但是会在拟合生长曲线的时候有用。
